Número PI

Parece mentira que dediquemos el nombre de este blog a él y en cambio no le dediquemos al menos una entrada. Es un número importantísmo que aparece por todas partes en matemáticas, física, ingeniería etc, y que tiene muchísimos fans panda de frikis; por supesto nos incluimos.

Este número aparece en primera instancia cuando se pretende obtener la relación entre el diámetro de una circunferencia y su longitud (perímetro). La relación es precisamente Pi:

Pi=L/d

Donde L es la longitud del círculo y d su diámetro.

Este cociente (o sea, Pi), es constante, es decir, que la relación entre la longitud y el diámetro de una circunferencia es siempre la misma, sea cual sea esta, de hecho la palabra Pi proviene del griego; "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro) (Dios vendiga wikipedia).

Tiene muchísimas propiedades interesantes, por ejemplo:

-Es irracional, es decir, no se puede expresar como fracción de números enteros.
-Es transcendente, lo que significa que no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros (ejem. 12x^2+23x+765=0).
-Suponemos que es normal. Un número normal es aquel cuyos dígitos siguen una distribución uniforme, es decir, que cualquier numero (según la base en la que estemos) tiene la misma probabilidad de presentarse. Digo suponemos porque de momento no se ha demostrado que así sea, ya que se necesitarían conocer exactamente todos los decimales y ver como se distribuyen y aquí viene la cuarta propiedad (no obstante se puede intuir*).
-Pi posee infinitos decimales.

Es interesante la propiedad de normalidad ya que permite plantear alguna cosilla frikada interesante. Por ejemplo, por definición, en un número normal aparecen todas las secuencias de números posibles, así que, si codificamos el alfabeto, por ejemplo así: A=1, B=2, etc, podemos encontrar el Quijote escrito dentro de Pi!!

Como curiosidad comentar que existen una gran cantidad de aproximaciones a Pi de todo tipo, por ejemplo:

22/7 = 3'14285...

311/99 = 3'141414...

355/113 = 3'1415929203...

*Podemos meter las narices en los decimales de Pi y hacer un pequeño estudio sobre su normalidad para ver si tiende a ser cierta. Si cogemos, por ejemplo, los 100 primeros decimales, podemos representar cada dígito frente el número de veces que aparece. El resultado es el siguiente (a base de Mathematica):

Cómputo del número de veces que aparece cada dígito salvo error u omisión (contado a ojímetro)



Represenación gráfica

En teoría esto debería ser una recta de pendiente 0 (totalmente horizontal) si los datos elegidos (100 primeros decimales) se distribuyeran exactamente de manera uniforme. Aunque en la representación parece que esto no se cumpla, hay que tener en cuenta la escala del eje Y. Un rango de variación de [8,13] no es demasiado si tenemos en cuenta que, para 100 decimales, las veces que debería aparecer cada número son 100/10 = 10, lo cual se acerca bastante a lo obtenido (para confirmarlo podemos obtener la media del numero de veces que aparece cada decimal. El resultado es 9,7).

Otro dato interesante para corroborar la normalidad es obtener la media de todos los decimales (como estamos en base 10, este valor debería acercarse a (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)/10=4,5), veamos que dice el Mathemática.

Obtenemos una media de 469/99=4,73737373... lo cual se aproxima bastante a 4,5.
Ahora queda un pelín mas justificado eso de la normalidad de Pi.

Como traca final una pequeña frikada cortesía de la casa. Un tocho en formato pdf con 5.000.000 de decimales de Pi distribuidos en 1462 páginas (obtenidos con el Mathematica por supuesto). Que lo disfrutéis (aunque no se muy bien como ¬¬).

DECIMALES

Saludos y hasta la próxima!!

fuentes:
Wikipedia
Gaussianos
Microsiervos
http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/conocer/numpi_aprox.htm


...by Pablo